喷涂机器人速度分析雅克比矩阵的求解

机器人的末端工作执行器与喷涂机器人各个关节的微分关系在机器人学中通常用机器人雅克比矩阵来表示，其含义是关节空间处到工作空间处的运动速度的广义传动比。在机器人学中，机器人的可操作度分析、静力分析、灵活性和速度控制都需要运用雅克比矩阵或是以雅克比矩阵为基础来进行分析，可见雅克比矩阵在机器人学中发挥着重要的作用，所以，机器人的速度分析必须要精确的建立并且求解雅克比矩阵。

由于目前机器人学发展较为成熟，有多种方法对雅克比矩阵进行求解:倪受东等根据四自由度冗余构型用矢量微分法构建了雅克比矩阵并进行了仿真，仿真结果表明此方法运算量小，精确;席文明等人提出了一种将基座坐标系建立在中间关节上得到机器人相对雅克比矩阵的解析求法，此方法简化了具有冗余度的机器人雅克比矩阵的求解;叶平等人将矢量积法与旋量理论结合在一起，提出了求解机器人雅克比矩阵的一种改进的方法;贾军艳用解析法与计算机模拟法对PUMA560机器人和2RP机器人的雅克比矩阵进行了求解，此计算机模拟法得到的结果与解析解有一定的误差;侯国柱、孔庆忠通过微分变换推导出了三自由度机械手的雅克比矩阵。由于本章在求解正解时推导出了机器人各个关节之间的变换矩阵，故可以通过常规的微分运动的方法利用这些矩阵求解出本文研究对象串并联喷涂机器人的雅克比矩阵。

根据机器人雅克比矩阵的定义可知其表示的是关节空间处到工作空间处的运动速度的广义传动比，即

式中关节处的速度矢量

操作空间处的速度矢量
    由于我们可以将速度看作是单位时间内的微分运动，所以也可将机器人的雅克比矩阵看作是关节空间的微分运动到工作空间的微分运动的转换矩阵，即

式中末端工作执行器的微分运动矢量

关节处的微分运动矢量
需要注意到的是，由于雅克比矩阵依赖于q，也就是依赖于机器人的位姿，故记作J(q)，这是一个依赖于q的线性变换矩阵。J(q)不一定非得是方矩阵，它的总行的数目相当于维数，总列数相当于关节变量的数目。
机器人的雅克比矩阵可以表示为分块矩阵如下

则末端工作执行器的线速度V与角速度W可以表示成关节速度的线性函数，即

则末端工作执行器的微分移动矢量d与微分转动矢量和各个关节的微分运动dq之间的关系如下

式(2-54), (2-55), (2-56)中的个关节的单独微分运动引起的末端工作执行器的微分转动和微分移动
则机器人雅克比矩阵可以通过微分运动变换的方式求解。对于转动的关节i，连杆i相对于i-1绕着坐标系的坐标系的相对应的微分运动矢量为

根据微分运动变换可知末端工作执行器的相应的微分运动，即因关节i的微分运动而引起的末端工作执行器的相应的微分运动如下

根据式(2-57)，认为此时除了第i号关节处以外，其他的关节均没有发生微分运动，则可将式(2-57)化为

如果关节i是移动的关节，则连杆i相对于连杆i-1而做的微分移动相对应的微分运动的矢量为

通过式( 2-58)和(2-59)可以得到机器人雅克比矩阵的每个列矢量。
若关节i是转动的关节，则矩阵J的第i列为

则末端工作执行器的相应微分运动矢量为

所以只需要知道喷涂机器人的各个杆件之间的变换矩阵就可以推导出 并通过的各个元素求出此关节处的相对雅克比矩阵据关节处的不同运动方式选择式(2-60)或(2-62)来计算关节处的相对雅克比矩阵，最后再将各个关节处的相对雅克比矩阵整合在一起就构成了整个机器人的相对雅克比矩阵